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Mostre que se \(rank(CAB) = rank(C) \), então \( rank(CA) = rank(C) \) e se \(rank(CAB) = rank(B) \), então \( rank(AB) = rank(B) \).

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perguntada Mar 19 em Matemática por Lucas Santos e Silva (76 pontos)  

Seja \(A\) uma matriz \(q\) x \(p\), \(B\) uma matriz \(p\) x \(n\) e \( C\) uma matriz \(m\) x \(q\).

Mostre que:

i) Se \(rank(CAB) = rank(C) \), então \( rank(CA) = rank(C) \)
ii) Se \(rank(CAB) = rank(B) \), então \( rank(AB) = rank(B) \)

Ref.: Capítulo 4 (Exercício 9) do livro "Matrix Algebra From a Statistician’s Perspective" de David A. Harville

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1 Resposta

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respondida Mar 19 por Lucas Santos e Silva (76 pontos)  
editado Mar 19 por Lucas Santos e Silva

Inicialmente demonstraremos que, dadas duas matrizes \(A\) e \(B\) com dimensões tais que nos permitam definir o produto \(AB\), é válida a seguinte relação:

\[ rank(AB) \leq mín\{rank(A), rank(B)\} \]

Neste caso, seja \(colspace(A)\) o espaço gerado pelo \(span\) das colunas de uma matriz \(A\), temos que \(rank(A) = dim(colspace(A)) \).

Afirmamos então que:

\[ colspace (AB) \subseteq colspace (A) \]

Sendo que podemos verificar tal fato de forma direta tomando um elemento \(x \in colspace(AB) \), onde tem-se que \( x = ABz\) para algum \(z\). Logo, fazendo \(y = Bz\), temos que \(x = Ay\) e, portanto, \(x \in colspace(A) \).

Considerando então este resultado, obtemos que:

\[ rank(AB) = dim(colspace(AB)) \leq dim(colspace(A)) = rank(A) \]

Adicionalmente, dado que \( rank(AB) = rank(AB)^\mathsf{T}= rank(B^\mathsf{T} A^\mathsf{T}) \) e dado que \(dim(colspace(B^\mathsf{T})) = dim(colspace(B))\) (para estas equivalências, ver "Apêndice" no final), obtemos também que:

\[ rank(AB) = dim(colspace(B^\mathsf{T} A^\mathsf{T})) \leq dim(colspace(B^\mathsf{T})) = rank(B) \]

Logo:

\[ rank(AB) \leq rank(A) \]

\[ rank(AB) \leq rank(B) \]
\( \therefore rank(AB) \leq mín \{ rank(A), rank(B) \} \)

\[ \]

Utilizando os resultados obtidos acima, partimos então para a demonstração dos fatos expostos nos itens (i) e (ii).

\[ \]

i) Queremos demonstrar que, se \(rank(CAB) = rank(C) \), então \( rank(CA) = rank(C) \).

Conforme resultados demonstrados anteriormente, neste caso teremos que:

\[ rank(CAB) \leq mín \{ rank(CA), rank(B) \} \]

Logo, temos que:

\[ rank(CAB) \leq rank(CA) \]

Sendo \(rank(CAB) = rank (C) \) teremos então:

\[ rank(C) \leq rank(CA) \quad \quad \quad (1) \]

Por sua vez, dado que:

\[rank(CA) \leq mín \{ rank(C), rank(A) \} \]

Obtemos que:

\[ rank(CA) \leq rank(C) \quad \quad \quad (2) \]

Logo, utilizando-se os resultados indicados em (1) e (2) temos que:

\[ rank(C) \leq rank(CA) \leq rank(C) \]

\( \therefore rank (CA) = rank(C) \)

\[ \]

ii) Queremos demonstrar que, se \(rank(CAB) = rank(B) \), então \( rank(AB) = rank(B) \).

Novamente considerando os resultados anteriormente demonstrados, neste caso teremos que:

\[ rank(CAB) \leq mín \{ rank(C), rank(AB) \} \]

Logo, temos que:

\[ rank(CAB) \leq rank(AB) \]

Sendo \(rank(CAB) = rank (B) \) teremos então:

\[ rank(B) \leq rank(AB) \quad \quad \quad (3) \]

Por sua vez, dado que:

\[rank(AB) \leq mín \{ rank(A), rank(B) \} \]

Obtemos que:

\[ rank(AB) \leq rank(B) \quad \quad \quad (4) \]

Logo, utilizando-se os resultados indicados em (3) e (4) temos que:

\[ rank(B) \leq rank(AB) \leq rank(B) \]

\( \therefore rank (AB) = rank(B) \)

\[ \]

Apêncice:

Temos que núcleos também podem ser definidos como complementos ortogonais, de tal forma que, sendo \(A\) uma matriz \(N\) x \(K\):

\[ ker A^\mathsf{T} = colspace^\perp (A) \]

Para tal, notamos que:

\[ ker A^\mathsf{T} = \{ x \in \mathbb{R}^N : A^\mathsf{T}x = 0 \} = \{ x \in \mathbb{R}^N : (row_{i}(A^\mathsf{T}))x = 0 \, \, \, \forall i \} =\] \[ = \{ x \in \mathbb{R}^N : (col_{i}(A))^\mathsf{T}x = 0 \, \, \, \forall i \} = \{ x \in \mathbb{R}^N: x \perp (col_{i}(A)) \, \, \, \forall i \} = \] \[ =\{ x \in \mathbb{R}^N: x \perp colspace(A) \} = colspace^\perp (A) \]

Adicionalmente, sabemos que:

\[ dim(colspace(A)) + dim(colspace^\perp(A)) = N \]

Logo:

\[ dim(colspace(A)) + dim(kerA^\mathsf{T}) = N \]

Sabemos ainda, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, que:

\[ dim(colspace(A^\mathsf{T})) + dim(kerA^\mathsf{T}) = N \]

Portanto, subtraindo-se estas duas últimas equações obtemos:

\[ dim(colspace(A)) - dim(colspace(A^\mathsf{T}) = 0 \]

\( \therefore dim(colspace(A)) = dim(colspace(A^\mathsf{T})) \)

\[ \]

Obs. O resultado para \(rank\) vem diretamente do exposto acima, dado que \(rank(A) = dim(colspace(A)) \).

comentou Mar 23 por claudiaeirado (66 pontos)  
editado Mar 23 por claudiaeirado
Parabéns pela resolução, Lucas!

Para resolver a questão, foi necessária a definição de  \(rank(A) = dim(colspace(A))\), em que \(colspace(A) = span\{col_1 A, . . . , col_p A\}\), e do resultado \(rank(AB) \leq min \{ rank(A), rank(B) \}\), como exposto acima.

E então temos que

i) \(rank(C) \leq rank(CA) \leq rank(CAB) = rank(C) \ \Rightarrow  rank(CA)=rank(C) \)
ii) \(rank(B) \leq rank(AB) \leq rank(CAB) = rank(B) \ \Rightarrow  rank(AB)=rank(B) \).
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