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Para cada função \(T:R^3→ R^3\), verifique se T é uma transformação linear e então cheque se \(N(T)\) e \(IM(T)\) são soma direta.

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perguntada Mar 23 em Matemática por Alan Antunes Rosendo (26 pontos)  
editado Mar 24 por Alan Antunes Rosendo

Para cada função \(T:R^3→ R^3\), verifique se T é uma transformação linear e então cheque se \(N(T)\) e \(IM(T)\) são soma direta.
a) \(T(x,y,z)=(x-2y+z,x-z,x-2y+z)\)
b) \(T(x,y,z)=(3(x+y+z),0,x+y+z)\)

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1 Resposta

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respondida Mar 24 por Alan Antunes Rosendo (26 pontos)  
editado Mar 24 por Alan Antunes Rosendo

Para verificar se \(T\) é uma transformação linear, devemos testar a seguinte propriedade:
Para qualquer \(A,B∈R^3\) e \(α∈R\):
\(T(A+αB)=T(A)+αT(B)\)
Para verificar se \(N(T)+IM(T)\) é soma direta, devemos testar a seguinte propriedade:
\(N(T)∩IM(T)=\){0}
Resolvendo os itens separadamente:
a) Suponha \(A=(x_1,y_1,z_1)∈R^3\), \(B=(x_2,y_2,z_2)∈R^3\), \(α∈R\)
Calculando os termos separadamente, temos:
\(T(A)=T(x_1,y_1,z_1)=(x_1-2y_1+z_1, x_1-z_1,x_1-2y_1+z_1)\)
\(αT(B)=αT(x_2,y_2,z_2)=α(x_2-2y_2+z_2,x_2-z_2,x_2-2y_2+z_2)\)
\(T(A+αB)=T(x_1+αx_2,y_1+αy_2,z_1+αz_2)=\)
\(=(x_1+αx_2-2y_1-2αy_2+z_1+αz_2,x_1+αx_2-z_1-αz_2, x_1\)
\(+αx_2-2y_1-2αy_2+z_1+αz_2)\)
\(=(x_1-2y_1+z_1,x_1-z_1, x_1-2y_1+z_1)+\)
\(+(αx_2-2αy_2+αz_2, αx_2-αz_2,αx_2-2αy_2+αz_2)\)
\(=T(A)+α(x_2-2y_2+z_2, x_2-z_2,x_2-2y_2+z_2)=T(A)+αT(B)\)
Portanto, a função é uma transformação linear.

Verificando se é soma direta, temos:

\(N(T) = \{ (x,y,z) :T(x,y,z)=(0,0,0)\}\)
Daí temos a seguinte equação::
\(T(x,y,z)=(x-2y+z,x-z,x-2y+z)=(0,0,0)\)
Com isso, montamos o sistema:
\(x-2y+z=0\)
\(x-z=0\)
Resolvendo o sistema, temos:
\(x-z=0\Rightarrow x=z\)
\(x-2y+z=0\Rightarrow x-2y+x=0\Rightarrow 2x=2y\Rightarrow x=y\)
Logo o núcleo será:
\(N(T) = \{ (x,y,z) :(x,x,x)\}\)
Verificando se o vetor (1,1,1) pertence a imagem de T, temos:
\(T(x,y,z)=(x-2y+z,x-z,x-2y+z)=(1,1,1)\)
Com isso, montamos o sistema:
\(x-2y+z=1\)
\(x-z=1\)
Encontrando uma solução para o sistema, podemos supor \(x=2\), daí temos:
\(x-z=1 \Rightarrow z=x-1 \Rightarrow z=2-1=1\)
\(x-2y+z=1\Rightarrow y=(x+z-1)/2=1\)
Logo o ponto \((2,1,1)\) é solução do sistema, então o ponto \((1,1,1)∈IM(T)\)
Com isso, concluímos que \((1,1,1)∈N(T)∩IM(T)\), logo \(N(T)∩IM(T)\neq \) \( \{(0,0,0) \}\)
Então \(N(T)+IM(T)\) não é soma direta.

b) Suponha \(A=(x_1,y_1,z_1)∈R^3\), \(B=(x_2,y_2,z_2)∈R^3\), \(α∈R\)
Calculando os termos separadamente, temos:
\(T(A)=T(x_1,y_1,z_1)=(3(x_1+y_1+z_1),0,x_1+y_1+z_1)\)
\(αT(B)=αT(x_2,y_2,z_2)=α(3(x_2+y_2+z_2),0,x_2+y_2+z_2)\)
\(T(A+αB)=T(x_1+αx_2,y_1+αy_2,z_1+αz_2)=\)
\((3(x_1+αx_2+y_1+αy_2+z_1+αz_2),0,x_1+αx_2+y_1+αy_2+z_1+αz_2)\)
\(=(3(x_1+y_1+z_1),0, x_1+y_1+z_1)+(3(αx_2+αy_2+αz_2),0,αx_2+αy_2+αz_2)\)
\(=T(A)+α(3(x_2+y_2+z_2), 0,x_2+y_2+z_2)=T(A)+αT(B)\)
Portanto, a função é uma transformação linear.

Verificando se é soma direta, temos:

\(N(T) = \{ (x,y,z) :T(x,y,z)=(0,0,0)\}\)
Daí temos a seguinte equação:
\(T(x,y,z)=(3(x+y+z),0,x+y+z)=(0,0,0)\)
Com isso, montamos o sistema:
\(3(x+y+z)=0\)
\(x+y+z=0\)
Resolvendo o sistema, temos:
\(x+y+z=0\Rightarrow z=-x-y\)

Logo o núcleo será:
\(N(T) = \{ (x,y,z) :(x,y,-x-y)\}\)

Já a imagem de T, será gerada pelo vetor da forma \((3,0,1)\), com isso temos:

\(N(T)∩IM(T) =\) \( \{(0,0,0) \}\)

Então \(N(T)+IM(T)\) é soma direta.

comentou Mai 14 por João Isidio (26 pontos)  
Alan, excelente trabalho. Trata-se de uma resolução correta e concisa.

Entretanto, creio que a indicação da fonte da questão é indispensável, podendo ser mencionada ao final da pergunta. Afinal, estas resoluções ficarão à disposição de usuários que não terão acesso a planilha de questões.

Quanto a resolução, entendo que seria possível reduzir algumas linhas se fossem evitadas as caracterizações dos vetores como \(A\) e \(B\). Também creio que a exposição dos vetores como coluna facilita a visualização, como pode-se ver no exemplo do **item a**:

Dados \((x_1,y_1,z_1) \in R^3 \) e \((x_2,y_2,z_2) \in R^3\),

\[T(x,y,z)= \begin{bmatrix}
x-2y+z\\
x-z\\
x-2y+z
\end{bmatrix}\]

\[T(x_1+\alpha x_2,y_1+\alpha y_2,z_1+\alpha z_2)= \begin{bmatrix}
(x_1+\alpha x_2)-2(y_1+\alpha y_2)+(z_1+\alpha z_2)\\
(x_1+\alpha x_2)-(z_1+\alpha z_2)\\
(x_1+\alpha x_2)-2(y_1+\alpha y_2)+(z_1+\alpha z_2)
\end{bmatrix}\]

Rearranjando,

\[ \begin{bmatrix}
x_1-2y_1+z_1+ \alpha x_2-2\alpha y_2+\alpha z_2\\
x_1-z_1+\alpha x_2-\alpha z_2\\
x_1-2y_1+z_1+ \alpha x_2-2\alpha y_2+\alpha z_2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
x_1-2y_1+z_1\\
x_1-z_1\\
x_1-2y_1+z_1
\end{bmatrix}+
\alpha \begin{bmatrix}
x_2-2 y_2+ z_2\\
x_2- z_2\\
x_2-2 y_2+ z_2
\end{bmatrix}\]

Portanto,

\[T(x_1+\alpha x_2,y_1+\alpha y_2,z_1+\alpha z_2)=T(x_1,y_1,z_1)+\alpha T(x_2,y_2,z_2)\]

De toda forma, a escolha por vetores colunas é apenas cosmética.

Quanto a segunda parte  do **item b**, representar a transformação como abaixo ajuda a entender que qualquer solução \(x+y+z \neq 0\) produzirá um vetor imagem distinto do vetor nulo.

\[T(x,y,z)= \begin{bmatrix}
3(x+y+z)\\
0\\
x+y+z
\end{bmatrix}= (x+y+z)\begin{bmatrix}
3\\
0\\
1
\end{bmatrix}\]
...