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- Suponha que \(E(X) = \mu\) e \(Var(X)= \sigma^2\). Dado \(Z=(X - \mu)/\sigma\). Mostre que E(Z) = 0 e Var(Z)= \(1\)

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perguntada Mar 31 em Estatística por João Pedro Mussi (31 pontos)  
editado Mai 19 por João Pedro Mussi

Mathematical Statistics and Data Analysis-John Rice- Cap. 4 -Ex 16- Segunda Edição

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1 Resposta

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respondida Mar 31 por João Pedro Mussi (31 pontos)  
editado Mai 8 por João Pedro Mussi

1- Provar E(Z) = 0

Utilizando a definição de \(Z\) do enunciado e aplicando o operador de esperança temos que:

\(E(Z) = E[(X-\mu)/\sigma]\)

Por propriedade do operador de esperança podemos reescrever essa equação como:

\(E(Z)= [E(X)-E(\mu)]*E(1/\sigma)\).

Como \(E(X) = \mu\) é possível substituir na equação acima:

\(E(Z)= [\mu-E(\mu)]*E(1/\sigma)\) como \(\sigma\) e \(\mu\) são constantes, dado o enunciado, temos:

\(E(Z)= [(\mu)-(\mu)]*(1/\sigma) = 0*1/\sigma = 0 \)

Chegando assim ao resultado de \(E(Z)=0\).

2- Provar Var(Z) = 1

Para provar o resultado será utilizado a definição de variância como \(Var(X)= E(X^2) - E(X)^2 = \sigma^2\)

Utilizando o operador de variância em \(Z\) temos:

\(Var(Z) = Var[(X-\mu)/\sigma]\)

Por propriedade de variância e dado que \(\sigma\) é uma constante é possível reescrever a equação como:

\(Var(Z) = (1/\sigma^2)*Var(X-\mu)\)

Utilizando a definição de variância apresentada, utilizando a propriedade do operador de esperança e dado que \(\sigma\) e \(\mu\) são constantes, é possível reescrevê-la como:

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[E[(X-\mu)^2] - E(X-\mu)^2]\)

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[(E(X^2-2*\mu*X+\mu^2) - E(X-\mu)*E(X-\mu)]\)

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[E(X^2)-2*\mu*E(X)+\mu^2 - (E(X)-\mu)*(E(X)-\mu)]\)

Como visto em (1) \(E(X) = \mu\) e \((E(X) - \mu)\) = 0

Logo, é possível reescrever a equação como:

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[E(X^2)-2*\mu^2+\mu^2 - 0*0]\)

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[E(X^2)-\mu^2] \)

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[E(X^2)-E(X)^2] \)

Portanto, dada a definição inicial em (2):

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*[E(X^2)-E(X)^2] \)= \( Var(Z) = (1/\sigma^2)*Var(X) \)

\( Var(Z) = (1/\sigma^2)*\sigma^2 \) = 1

Chegando assim ao resultado de \(Var(Z) = 1 \).

comentou Abr 23 por Lucas Santos e Silva (76 pontos)  
Muito boa resposta Mussi!

Sem muito o que acrescentar em relação aos resultados apresentados, dado o correto desenvolvimento e manipulação rigorosa dos conceitos envolvidos no tema.

De qualquer forma, deixo aqui algumas pequenas considerações, comentários e eventuais complementos:

1) Na primeira passagem do item 1, onde utiliza-se a propriedade de linearidade do operador esperança, talvez o melhor seria representar a manipulação do termo \( (1/ \sigma) \) através desta mesma propriedade, ou seja:

\[ E [Z] = E[(X-\mu)/\sigma] = 1/\sigma \times E[(X-\mu)] = 1/\sigma \times  \big( E[X] - \mu \big)  \]

Digo isto apenas para que se evite qualquer entendimento equivocado em relação ao desenvolvimento apresentado, que pode dar a entender que a igualdade \( E[XY] = E[X] \times E[Y] \) vale como uma propriedade do operador esperança (sendo que trata-se de uma condição válida apenas no caso de \(X \) e \(Y\) serem independentes).

Cabe ressaltar ainda que, para aqueles que desejarem, a propriedade de linearidade aqui mencionada é facilmente demonstrada utilizando-se a definição de esperança, com integral no caso contínuo e somatório no caso discreto, bastando para isso uma simples manipulação de termos e a utilização das propriedades dos operadores em questão.

2) No item 2, apesar de ter sido utilizada uma propriedade da variância para manipulação inicial do termo \( (1/ \sigma) \), destaca-se que o mesmo resultado seria obtido, por motivos óbvios, caso tal opção não fosse adotada (ou seja, fazendo-se a mesma manipulação apresentada, no entanto utilizando a definição completa de \( Z \), sem a retirada inicial de \( (1/ \sigma) \) ). Inclusive, proceder desta forma pode ter um caráter educativo para um eventual leitor de primeira viagem, dado que ao longo deste processo estará sendo provada indiretamente inclusive a propriedade inicialmente utilizada na resolução original.

3) Por fim, apenas de forma a complementar ainda mais a solução apresentada, deixo abaixo um breve apêndice com uma demonstração para obter-se a expressão de variância utilizada na solução do problema.

Partindo-se da definição de Momentos, temos que:

\( E[X^k] \) é chamado o k-ésimo momento de \( X \)
\( E[(X-E[X])^k] \) é chamado o k-ésimo momento central de \( X \)

Dito isso, temos que o segundo momento central de \(X\) é denominado como a variância de \(X\), logo:

\[ var [X] = E[(X - E[X])^2] \]

Com um pouco de manipulação desta expressão obtemos:

\[ var [X] = E[(X - E[X])^2] \]

\[ var [X] = E[X^2 - 2 \times X \times E[X] + (E[X])^2 ] \]

\[ var [X] = E[X^2] - 2 \times E[X] \times E[E[X]] + E[(E[X])^2] \]

Dado que \(E[X]\) é uma constante:

\[ var [X] = E[X^2] - 2 \times E[X] \times E[X] + (E[X])^2 \]

\[ var [X] = E[X^2] - 2 \times (E[X])^2 + (E[X])^2 \]

\( \therefore var [X] = E[X^2] - (E[X])^2 \)
comentou Mai 7 por João Pedro Mussi (31 pontos)  
Justissimo seu comentário, Lucas! Muito obrigado pelos esclarecimentos e complemento a resposta.
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