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Analise a distribuição de Cauchy

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perguntada Abr 23 em Matemática por Gustavo Libório (6 pontos)  
editado Mai 13 por Gustavo Libório

A função de distribuição acumulada de Cauchy é dada por \( F(x)=\frac{1}{2}+\frac{arctan(x)}{\pi}\) para \( x \in \mathbb{R} \).

Mostre:

a) que F é de fato uma função de distribuição;

b) qual é a função de densidade de probabilidade associada;

c) qual é \(x \in \mathbb{R} \) tal que \(P(X > x)=0.1\).

Exercício 39 do capítulo 2 do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice

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1 Resposta

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respondida Abr 23 por Gustavo Libório (6 pontos)  
selecionada Abr 23 por Gustavo Libório
 
Melhor resposta

A questão pede para analisarmos a distribuição de Cauchy, que é descrita pela função de distribuição acumulada \(F(x)=\frac{1}{2}+\frac{arctan(x)}{\pi}\).

a) Para mostrarmos que F é de fato uma função de distribuição devemos mostrar que:

i) F é contínua em contínua a direita em cada ponto \(x\) do domínio;

ii) Crescente (não decrescente);

iii) \(lim_{s\to-\infty} F(s)=0\) e \(lim_{s\to\infty} F(s)=1\)

Sendo assim, vamos item a item. A função arco-tangente é contínua e crescente em todos os pontos, e a soma e produto de funções contínuas são também contínuas, portanto F é contínua (e também contínua a direita). A lógica é semelhante para crescente. Veja o gráfico da função de distribuição para ter a intuição.

A imagem será apresentada aqui.

Só falta mostrar que \(lim_{s\to-\infty} F(s)=0\) e \(lim_{s\to\infty} F(s)=1\). Toda a dinâmica é dada por \( arctan \). Lembrando que \( lim_{s\to-\infty} arctan(s)=-\frac{\pi}{2}\) e \( lim_{s\to \infty} arctan(s)=\frac{\pi}{2}\) é imediato que vale o item iii), e portanto F é de fato uma função de distribuição de probabilidade.

b) Para encontrar a função de densidade acumulada vamos usar o fato de que se \(F\) for derivável em todo domínio, então \(f(s)=F’(s) \). Outra vez rememorando, sabemos que a derivada da função arco-tangente é igual a \(\frac{1}{1+x^2}\) em todos os pontos, portanto é fácil ver que:

\[f(s)=F’(s)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+s^2} \]

c) Para encontrar o \(x\) real tal que \(P(X>x)=0.1\) basta usar o fato de que \(P(X>x)=1-P(X \leq x) \), de maneira que queremos \(1-F(x)=0.1 \Rightarrow F(x)=0.9=\frac{1}{2}+\frac{arctan(x)}{\pi}\).

Efetuando os cálculos encontramos \(x \approx 3.077\).

comentou Mai 15 por Alan Antunes Rosendo (26 pontos)  
Excelente resposta! As três respostas estão corretas.
Uma solução alternativa para a letra a), seria verificar se f(x) é uma derivada de uma função de distribuição acumulada, no caso, as contas seriam (utilizando o F(s) calculado na questão):
\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac {1}{\pi}\frac{1}{1+s^2}= \frac{1}{\pi}\bigg(\frac{\pi}{2}-\bigg(-\frac{\pi}{2}\bigg) \bigg)=1 \]
Logo F é uma função de distrição acumulada e f é uma função de distribuição.
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