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Considere a distribuição binomial com \(n\) ensaios e probabilidade \(p\) de sucesso em cada ensaio. Para qual valor de \(k\) \(P(X = k)\) é maximizado? Este valor é chamado de moda da distribuição (Dica: Considere a razão de termos sucessivos).

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perguntada Mai 10 em Estatística por João Isidio (26 pontos)  
editado Mai 25 por João Isidio

Considere a distribuição binomial com \(n\) ensaios e probabilidade \(p\) de sucesso em cada ensaio. Para qual valor de \(k\) \(P(X = k)\) é maximizado? Este valor é chamado de moda da distribuição (Dica: Considere a razão de termos sucessivos).

Exercício 11 do capítulo 2 do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice

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2 Respostas

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respondida Mai 12 por Tales Lins Costa (36 pontos)  
selecionada Mai 16 por João Isidio
 
Melhor resposta

Muito boa sua solução, a resposta é essa mesmo! O que eu poderia deixar como contribuição, é uma curiosidade para aqueles que desejam realizar cálculos usando funções binomiais no Python. Se temos a seguinte função:

\(P(X=k)=\binom{n}{k}(p)^k(1-p)^{n-k}\)

no Python a programação será a seguinte:

import scipy.stats as stats

n =
p =
k = 

binomial = stats.binom.pmf(k,n,p)

print(binomial)
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respondida Mai 10 por João Isidio (26 pontos)  

Eis a função de probabilidade binomial para \(k\) sucessos em \(n\) ensaios com probabilidade \(p\) de sucesso:

\(P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), onde \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

A razão de probabilidades de termos sucessivos pode ser assim calculada:

\(\frac{P(X = k+1)}{P(X = k)} = \frac{\frac{n!}{(k+1)!(n-[k+1])!}p^{k+1}(1-p)^{n-[k+1]}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}} = \frac{k!(n-k)!}{(k+1)!(n-[k+1])!}\frac{p^{k+1}(1-p)^{n-[k+1]}}{p^k(1-p)^{n-k}} =\)

\(\frac{P(X = k+1)}{P(X = k)} = \frac{k!(n-k)(n-k-1)!}{(k+1)k!(n-k-1)!}p(1-p)^{-1} = \frac{n-k}{k+1}\frac{p}{1-p} = \big[\frac{n+1}{k+1}-1\big] \frac{p}{1-p} \) (1)

Considerando \(P(X=k^*)\) a probabilidade maximal e \(k^*\) o valor associado a ela, tem-se que \(P(X=k^*+1) \leq P(X=k^*)\), ou seja, o termo seguinte está associado a uma probabilidade menor que o ótimo. Substituindo \(k\) por \(k^*\) em (1), podemos afirmar que:

\(\frac{P(X = k^*+1)}{P(X = k^*)} \leq 1\)

De onde podemos concluir que:

\(\big[\frac{n+1}{k^*+1}-1\big] \frac{p}{1-p} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{n+1}{k^*+1}-1 \leq \frac{1-p}{p} = \frac{1}{p} -1 \Leftrightarrow \frac{n+1}{k^*+1} \leq \frac{1}{p} \Leftrightarrow \)

\((n+1)p \leq k^*+1 \Leftrightarrow k^* \geq (n+1)p-1\) (2)

Com relação ao termo anterior ao associado à probabilidade maximal, sabe-se que \(P(X=k^*-1) \leq P(X=k^*)\). De posse dessa informação e substituindo \(k\) por \(k^*-1\) em (1) pode-se mostrar que:

\(\frac{P(X = k^*)}{P(X = k^*-1)} \geq 1\)

De onde podemos concluir que:

\(\bigg[\frac{n+1}{[k^*-1]+1}-1\bigg] \frac{p}{1-p} \geq 1 \Leftrightarrow \frac{n+1}{k^*}-1 \geq \frac{1-p}{p} = \frac{1}{p} -1 \Leftrightarrow \frac{n+1}{k^*} \leq \frac{1}{p} \Leftrightarrow \)

\((n+1)p \geq k^* \Leftrightarrow k^* \leq (n+1)p\) (3)

Portanto, por (2) e (3) pode-se afirmar que:

\(k^* = \{k \in \{1,...,n\}/(n+1)p-1 \leq k \leq (n+1)p\} \)

comentou Mai 24 por danielcajueiro (5,501 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão. A referencia para o livro pode vir na caixa de texto abaixo.
comentou Mai 25 por João Isidio (26 pontos)  
A alteração foi feita.
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