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Ache todos os pontos críticos de $f(x,y)=x^2 + y^2 + z^2$ sujeito a $x+y-2z-6=0$.

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perguntada Mai 12 em Matemática por danielcajueiro (5,486 pontos)  

Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e teste se o(s)
ponto(s) crítico(s) é (são) máximo ou mínimo utilizando o Hessiano orlado. Marque a alternativa VERDADEIRA.

(a) Existem 2 pontos críticos.

(b) Existem dois pontos de mínimo que satisfazem a restrição.

(c) Existem dois pontos de máximo que satisfazem a restrição.

(d) Existe um ponto de mínimo que satisfaz a restrição.

(e) Existe um ponto de máximo que satisfaz a restrição.

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1 Resposta

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respondida Mai 12 por danielcajueiro (5,486 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2 - \lambda (x+y-2z-6)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=2y+\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=2z- 2\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(x+y-2z-6)=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Note que a solução pode ser facilmente encontrada escrevendo \(x\), \(y\) e \(z\) como função de \(\lambda\) e substituir na equação da restrição para encontrar:

\((\lambda,x,y,z)=(-2,1,1,-2)\)

4) Use o hessiano orlado para testar se os ponto crítico do ítem anterior é ponto de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & -2\\ 1 & 2 & 0& 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ -2 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right]\]

5) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.

Como \((n-m)=3-1=2\), precisamos calcular os últimos determinantes principais \(H_3=-4\) e \(H_4=-24\) implicando que temos um ponto de mínimo.

Logo, a resposta é (d).

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