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Em uma sequência de tentativas com probabilidade p de sucesso, qual a probabilidade de termos r sucessos antes da k° falha?

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perguntada Mai 15 em Estatística por Mihalis E. Yacalos (1 ponto)  
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1 Resposta

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respondida Mai 15 por Mihalis E. Yacalos (1 ponto)  

Queremos obter r sucessos antes de obtermos k fracassos. Mas isto só é possível se tivermos pelo menos r e no máximo r+k-1 eventos, pois em menos de r eventos não é possível obtermos r sucessos e em r+k eventos ou mais, já temos que ter obtido r sucessos, pois caso contrário vamos ter obtido k fracassos ou mais, o que não é o intuito.

Considere as variáveis aleatórias Xi∼b(i,0,5), definidas como sendo o número de sucessos obtidos em i lançamentos da moeda com i=r, r+1, … , r + k - 2, r + k - 1. Sendo assim precisamos calcular P(Xi=r) para cada i.

Portanto a probabilidade de obtermos r sucessos antes de k fracassos é:

A imagem será apresentada aqui.

comentou Mai 17 por Ricardo Nunes (21 pontos)  

Parabéns pela resolução, acho que podemos analisar um exemplo concreto:

Considere o evento de se lançar uma moeda. Qual a probabilidade de obtermos 5 caras (sucessos) antes de obter uma coroa (fracasso)?

Logo \( p = \frac{1}{2}, k = 1, r = 5\). Aplicando diretamente a fórmula que você encontrou temos:
\[\sum_{i=r}^{r+k-1} \binom{i}{r}(p)^r (1-p)^{i-r}\]
Substituindo:
\[\sum_{i=5}^{5+1-1} \binom{5}{5}(\frac{1}{2})^5 (1-p)^{5-5} = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} \]

O que de fato é o resultado dessa conta, se formos calcular a probabilidade diretamente ela será:
\[p(Ca,Ca,Ca,Ca,Ca) = \frac{1}{2}^5 = \frac{1}{32}\]
Pois os eventos são independentes.

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