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Como resolver o exercício 12 do capítulo 9 do livro Mathematical Statistics and Data Analysis (3a ed., 2006), John A. Rice

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perguntada Mai 17 em Estatística por João Coutinho (21 pontos)  
editado Mai 17 por João Coutinho

Seja \( (X_1, ... , X_n) \) uma amostra aleatória de uma distribuição exponencial com a função densidade \(f(x | \theta) = \theta exp [-\theta x]\). Derive o teste da razão de verossimilhança de \(H_0: \theta = \theta_0 \) contra \(H_A: \theta \neq \theta_0 \), e mostre que a região de rejeição tem a forma de \( \{ \overline X exp[-\theta_0 \cdot \overline X] \leq c \} \).

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1 Resposta

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respondida Mai 17 por João Coutinho (21 pontos)  

Nós sabemos que \(X_1, ..., X_n\) são variáveis i.i.d. com o mesmo parâmetro \(\theta \gt 0\) e precisamos fazer o teste da razao de verossimilhança com os parâmetros propostos.
O teste da razão de verossimilhança é dado por:
\[ \Lambda = \frac {max_{\theta \in {\theta_0}} lik(\theta)}{max_{\theta \in \langle 0, \infty \rangle} lik(\theta)} \]
Nós sabemos que o estimador de máxima verossimilhança de \(\theta\) para a hipótese alternativa é apenas o estimador para a função exponencial, que é:
\[ \hat{\theta}= \frac{1}{\overline X} \]
Como \(\theta_0\) é o único valor permitido pela hipótese nula, então temos que:
\[ \Lambda = \frac {lik(\theta_0)}{lik(\hat{\theta)}} =\frac {f(X|\theta_0)}{f(X | \hat{\theta})} \]
\[ \Lambda= \frac {\theta_0 e^{-\theta_0x_1} \times \cdots \times \theta_0 e^{-\theta_0x_n}}{\hat{\theta}e^{-\hat{\theta}x_1} \times \cdots \times \hat{\theta}e^{-\hat{\theta}x_n} } \]
\[ \Lambda= (\frac{\theta_0}{\hat{\theta}})^n \times e^{(\hat{\theta}-\theta_0)(x_1+\cdots+n_n)} \]
Ora, como \( \sum_{i=1}^{n} x_i = n \cdot \overline X \) e \( \hat{\theta}=\frac{1}{\overline X} \), então temos:
\[ \Lambda = (\overline X \cdot \theta_0)^n\cdot e^{n\overline X \cdot (\frac{1}{\overline X} - \theta_0)} = (\overline X \cdot \theta_0)^n \cdot (e^{(1-\overline X \cdot \theta_0)})^n \]
\[ \Lambda = (\overline X \cdot \theta_0 \cdot e^{(1-\overline X\cdot \theta_0)})^n \]
Nós rejeitamos a hipótese nula quando \(\Lambda \leq d\) com \(d \gt 0\). Portanto, temos:
\[ (\overline X \cdot \theta_0 \cdot e^{(1-\overline X\cdot \theta_0)})^n \leq d \iff \overline X \cdot \theta_0 \cdot e^{(1-\overline X\cdot \theta_0)} \leq \sqrt[n]{d} \]
\[ \overline X \cdot e^{-\overline X \cdot \theta_0} \leq \frac{\sqrt[n]{d}}{\theta_0 \cdot e} \]
Ora, basta fazer que:
\[ c=\frac{\sqrt[n]{d}}{\theta_0 \cdot e} \]
Para que a região de rejeição tome a forma desejada. Isto é, temos:
\[ \Lambda \leq d \iff \overline X \cdot e^{\overline X\cdot \theta_0} \leq c \]
Como queriamos mostrar.

comentou Mai 24 por danielcajueiro (5,486 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão. A referencia para o livro pode vir na caixa de texto abaixo.
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