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Variável aleatória contínua - Pr e esperança

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perguntada Jun 29 em Estatística por Matheus Batista (6 pontos)  

Ola pessoal, sou professor particular de fisica e um aluno me perguntou sobre estatistica e não soube responder. Será que conseguem me ajudar com dois problemas de Variável aleatória contínua?

  1. Considere uma variável aleatória contínua X com densidade: f(x) = 0.5+x para x entre 0 e 1; e f(x) = 0 caso contrário. Calcule a Pr(0.5 <= X <= 0.75).

2.Considere uma variável aleatória contínua X com densidade: f(x) = 0.5+x para x entre 0 e 1; e f(x) = 0 caso contrário. Calcule a esperança de Y=X^2.

Grato desde já

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1 Resposta

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respondida Jun 30 por Stuart Mill (1,429 pontos)  

1) Vem da definição:
\(P(0.5 \le X \le 0.75) = \int_{0.5}^{0.75} (0.5 +x) dx\)
2) É direto também, mas a justificativa é um pouco mais sutil (LOTUS):
\(\mathbb{E}(Y) = \mathbb{E}(X^2) =\int_{\mathbb{R}} x^2f(x)dx = \int_0^1 x^2(0.5+x)dx\)

Fazendo um paralelo com a física, a esperança tem uma interpretação de "centro de massa", só que usando a densidade de probabilidade em vez de a densidade de massa, uma vez que \(\int_\mathbb{R}f(x)dx = 1\) por definição.

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