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Autovalores e autovetores

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perguntada Set 11 em Matemática por danielcajueiro (5,486 pontos)  

Considere uma matriz \(A\) de ordem \(3\times 3\), onde temos

\[A\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2\\ 1 \end{array}\right]=6\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2\\ 1 \end{array}\right]\] \[A\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1\\ 1 \end{array}\right]=3\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1\\ 1 \end{array}\right]\] e \[A\left[\begin{array}{c} 2 \\ -1\\ 0 \end{array}\right]=3\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1\\ 1 \end{array}\right]\]

Então $A$ possui os seguintes autovalores:

a) 0, 3 e 6.

b) 1, 3 e 6.

c) 2, 3 e 6.

d) 3, 4, 5.

e) 3, 4 e 6.

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1 Resposta

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respondida Set 11 por danielcajueiro (5,486 pontos)  

Note que as duas primeiras equações explicitam naturalmente dois autovalores de \(A\) que são 6 e 3 respectivamente.

Falta descobrir o terceiro autovalor. Isso vem se usarmos conjuntamente a segunda e terceira equação notando que o lado direito dessas equações são iguais.

Logo, temos

\[A\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1\\ 1 \end{array}\right]- A\left[\begin{array}{c} 2 \\ -1\\ 0 \end{array}\right]=0\]

Portanto,

\[A \left[\begin{array}{c} -1 \\ 0\\ 1 \end{array}\right]=0\]

Isto é,

\[A \left[\begin{array}{c} -1 \\ 0\\ 1 \end{array}\right]=0\left[\begin{array}{c} -1 \\ 0\\ 1 \end{array}\right]\]

Ou seja, 0 é o autovalor de \(A\) associado ao autovetor \[\left[\begin{array}{c} -1 \\ 0\\ 1 \end{array}\right]\]

A resposta correta é a (a).

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